Dados vários eventos, a regra de adição de probabilidades é usada para calcular a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça. Probabilidade pode ser definida como o ramo da matemática que quantifica a certeza ou incerteza de um evento ou conjunto de eventos.
Conceitos Relacionados
Antes de entender a regra de adição, é importante entender alguns conceitos simples:
- Espaço amostral : é o conjunto de todos os eventos possíveis. Por exemplo, ao jogar uma moeda, o espaço de amostra é {cara, coroa} porque cara e coroa são todos os resultados possíveis.
- Evento : em probabilidade, um evento é definido como um resultado particular. Por exemplo, jogar uma moeda e receber cara é um evento.
- Eventos mutuamente exclusivos : são eventos tais que, se um ocorrer, o outro não poderá ocorrer. Novamente, no exemplo da moeda, se obtivermos cara, não podemos obter coroa. Portanto, os dois são eventos mutuamente exclusivos.
- Eventos mutuamente exaustivos : eventos que juntos abrangem todo o espaço amostral. No caso de jogar uma moeda, obter cara e obter coroa são mutuamente exaustivas, pois todo o espaço da amostra é {cara, coroa}.
- Eventos independentes : eventos que ocorrem independentemente uns dos outros. Por exemplo, ao lançar duas moedas, o resultado da segunda moeda é independente do resultado da primeira moeda.
A fórmula para calcular a probabilidade de dois eventos A e B é dada por:
Onde:
- P (A ∪ B) - Probabilidade de A ou B acontecer
- P (A) - Probabilidade do Evento A
- P (B) - Probabilidade do Evento B
- P (A ∩ B) - Probabilidade de A e B acontecerem juntos
O diagrama de Venn a seguir ilustra como e por que a fórmula funciona:
Conforme mostrado acima, subtraímos o termo P (AB) porque ele seria contado duas vezes ao adicionar P (A) e P (B).
Calculando P (A ∩ B)
A probabilidade de os eventos A e B acontecerem - P (A ∩ B) - pode ser facilmente calculada se os eventos forem independentes um do outro, multiplicando as duas probabilidades P (A) e P (B) conforme mostrado abaixo:
Se A e B forem eventos independentes, então:
Se os eventos A e B não forem independentes um do outro, a probabilidade pode ser inferida a partir da natureza dos eventos ou é difícil de determinar.
Eventos mutuamente exclusivos
No caso de eventos mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos Em estatística e teoria da probabilidade, dois eventos são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer ao mesmo tempo. O exemplo mais simples de mutuamente exclusivo, a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem ao mesmo tempo é zero por definição, porque se um ocorrer, o outro não pode. Portanto, para eventos mutuamente exclusivos A e B, existe:
Observe o fato de que eventos mutuamente exclusivos não são independentes porque se P (A) e P (B) são probabilidades diferentes de zero, então P (AB) = P (A) * P (B) não pode ser zero. Na verdade, por sua própria definição de eventos mutuamente exclusivos, eles dependem da não ocorrência do outro evento. O diagrama abaixo ilustra o conceito:
Exemplo Numérico
Vamos passar para um exemplo numérico que ilustra o conceito. Suponha dois eventos independentes, A e B. Seja P (A) = 0,6 e P (B) = 0,4. Então P (A ∪ B) é dado por:
- P (A) = 0,6
- P (B) = 0,4
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,4 = 0,24
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,6 + 0,4 - 0,24 = 0,76
Portanto, P (A ∪ B) é 76% .
Regras Derivadas
A regra de adição para probabilidades produz algumas outras regras que podem ser usadas para calcular outras probabilidades.
Eventos mutuamente exclusivos
Para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade conjunta P (A ∪ B) = 0. Portanto, obtemos:
Probabilidade para exatamente um de dois eventos
A probabilidade de exatamente um dos dois eventos pode ser calculada simplesmente modificando a regra de adição da seguinte forma:
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